Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 744
2014-02-26 
Дан многочлен #P(x)# нечетной степени #n# такой, что #lim_{x \rightarrow + \infty} P(x) = + \infty.# Известно, что многочлены #P(x)# и #P(P(x))# имеют ровно по #n# вещественных корней. Доказать, что многочлен #P(P(P(x)))# также имеет ровно #n# вещественных корней.
Решение:
По теоремам Гаусса и Ð олля многочлен #P^{\prime}# имеет #n-1# корень #\{ e_{j} \}_{j=1}^{n-1},# причем в каждой из точек #e_{j}# у функции #P# либо локальный минимум, либо локальный максимум. Пусть #M = max \{ f(e_{j}) \}_{j=1}^{n-1}, m = min \{ f(e_{j}) \}_{j=1}^{n-1}.# Пусть #z_{1} = max \{ x | P(x) = M \}, z_{0} = min \{ x | P(x) = m \}.# Пусть #\{ x_{k} \}_{k=1}^{n}# - корни #P(x) = 0.# Если для некоторого #k# выполнено #x_{k} \in \in [m,M],# то существует не менее 2-х решений #P(y) = x_{k};# поскольку для каждого #k# существует хотя бы 1 решение #y# уравнения #P(y) = x_{k}# то получаем противоречие с условием #P(P(x)) = 0# имеет #n# корней. Поэтому для каждого #k \: x_{k} < m# или #x_{k} > M.# Пусть #P(y_{k}) = x_{k},# т.е. #\{ y_{k} \}_{k=1}^{n}# - решения #P(P(x)) = 0.# Если, например, для данного #k \: x_{k} > M,# то #y_{k} > z_{1} \geq x_{k} > M,# первое неравенство в силу строго монотонного возрастания #P# на промежутке #[z_{1}, + \infty ).# Ðналогично, если #x_{k} < m,# то #y_{k} < z_{0} \leq x_{k} < m.# Таким образом, уравнение #P(x) = y_{k}# имеет 1 корень для всех #k \in \overline{1,n}.# Следовательно, уравнение #P(P(P(x))) = 0# имеет #n# корней.
Дан многочлен #P(x)# нечетной степени #n# такой, что #lim_{x \rightarrow + \infty} P(x) = + \infty.# Известно, что многочлены #P(x)# и #P(P(x))# имеют ровно по #n# вещественных корней. Доказать, что многочлен #P(P(P(x)))# также имеет ровно #n# вещественных корней.
Решение:
По теоремам Гаусса и Ð олля многочлен #P^{\prime}# имеет #n-1# корень #\{ e_{j} \}_{j=1}^{n-1},# причем в каждой из точек #e_{j}# у функции #P# либо локальный минимум, либо локальный максимум. Пусть #M = max \{ f(e_{j}) \}_{j=1}^{n-1}, m = min \{ f(e_{j}) \}_{j=1}^{n-1}.# Пусть #z_{1} = max \{ x | P(x) = M \}, z_{0} = min \{ x | P(x) = m \}.# Пусть #\{ x_{k} \}_{k=1}^{n}# - корни #P(x) = 0.# Если для некоторого #k# выполнено #x_{k} \in \in [m,M],# то существует не менее 2-х решений #P(y) = x_{k};# поскольку для каждого #k# существует хотя бы 1 решение #y# уравнения #P(y) = x_{k}# то получаем противоречие с условием #P(P(x)) = 0# имеет #n# корней. Поэтому для каждого #k \: x_{k} < m# или #x_{k} > M.# Пусть #P(y_{k}) = x_{k},# т.е. #\{ y_{k} \}_{k=1}^{n}# - решения #P(P(x)) = 0.# Если, например, для данного #k \: x_{k} > M,# то #y_{k} > z_{1} \geq x_{k} > M,# первое неравенство в силу строго монотонного возрастания #P# на промежутке #[z_{1}, + \infty ).# Ðналогично, если #x_{k} < m,# то #y_{k} < z_{0} \leq x_{k} < m.# Таким образом, уравнение #P(x) = y_{k}# имеет 1 корень для всех #k \in \overline{1,n}.# Следовательно, уравнение #P(P(P(x))) = 0# имеет #n# корней.
