Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 743
2014-02-26 
Пусть #\alpha \in (0, 1),# ряд #\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_{k}}{k^{\alpha}}# сходится и #x_{k} \geq x_{k+1} \geq 0# для всех #k.# Доказать, что ряд #\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}# также сходится.
Решение:
Так как #\{ x_{k }\}# монотонно убывает к нулю, то и последовательность #\alpha_{k} = \frac{x_{k}}{k^{\alpha}}# монотонно убывает к нулю. Поскольку #\sum_{m=k+1}^{2k} \alpha_{n} \geq \alpha_{2k} \cdot k# и ряд #\sum_{k=1}^{\infty} \alpha_{k}# сходится, в силу критерия Коши сходимости ряда получаем, что #2k \cdot \alpha_{2k} \rightarrow 0.# Отсюда в силу монотонности #\{ \alpha_{k} \}# имеем #\alpha_{k} = \frac{\varepsilon_{k}}{k}, \varepsilon_{k} \rightarrow 0.# #\frac{x_{k}}{k^{\alpha}} = \frac{\varepsilon_{k}}{k} \Longrightarrow x_{k} = \frac{\varepsilon_{k}}{k^{1 - \alpha}} \Longrightarrow x_{k}^{\frac{1}{1-\alpha}} = \frac{\varepsilon_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}}{k} \leq \frac{\varepsilon_{k}}{k},# последнее неравенство верно при всех достаточно больших #k.# Итак, ряд #\sum x_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}# сходится по признаку сравнения.
Пусть #\alpha \in (0, 1),# ряд #\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_{k}}{k^{\alpha}}# сходится и #x_{k} \geq x_{k+1} \geq 0# для всех #k.# Доказать, что ряд #\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}# также сходится.
Решение:
Так как #\{ x_{k }\}# монотонно убывает к нулю, то и последовательность #\alpha_{k} = \frac{x_{k}}{k^{\alpha}}# монотонно убывает к нулю. Поскольку #\sum_{m=k+1}^{2k} \alpha_{n} \geq \alpha_{2k} \cdot k# и ряд #\sum_{k=1}^{\infty} \alpha_{k}# сходится, в силу критерия Коши сходимости ряда получаем, что #2k \cdot \alpha_{2k} \rightarrow 0.# Отсюда в силу монотонности #\{ \alpha_{k} \}# имеем #\alpha_{k} = \frac{\varepsilon_{k}}{k}, \varepsilon_{k} \rightarrow 0.# #\frac{x_{k}}{k^{\alpha}} = \frac{\varepsilon_{k}}{k} \Longrightarrow x_{k} = \frac{\varepsilon_{k}}{k^{1 - \alpha}} \Longrightarrow x_{k}^{\frac{1}{1-\alpha}} = \frac{\varepsilon_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}}{k} \leq \frac{\varepsilon_{k}}{k},# последнее неравенство верно при всех достаточно больших #k.# Итак, ряд #\sum x_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}# сходится по признаку сравнения.
