Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 742
2014-02-26 
Пусть #x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.# Найти предел #lim_{n \rightarrow \infty} 6^{n} (2 - x_{n}).#
Решение:
Имеем #x_{n} \geq \sqrt[3]{6} > 1# и #x_{n} \leq \sqrt[3]{6 + \cdots + \sqrt[3]{8}} = 2# для всех #n.# Кроме того, #\{ x_{n} \}# строго монотонно возрастает, поэтому по теореме Вейерштрасса существует #lim x_{n} = 2.# Замечая, что #0 \leq 2 - x_{n+1} = \frac{8 - x_{n+1}^{3}}{4 + 2 x_{n+1} + x_{n-1}^{2}} = \frac{2 -x_{n}}{4 + 2 x_{n+1} + x_{n+1}^{2}} \leq \frac{2 - x_{n}}{7},# получаем, что #lim 6^{n}(2 - x_{n}) = 0.#
Пусть #x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.# Найти предел #lim_{n \rightarrow \infty} 6^{n} (2 - x_{n}).#
Решение:
Имеем #x_{n} \geq \sqrt[3]{6} > 1# и #x_{n} \leq \sqrt[3]{6 + \cdots + \sqrt[3]{8}} = 2# для всех #n.# Кроме того, #\{ x_{n} \}# строго монотонно возрастает, поэтому по теореме Вейерштрасса существует #lim x_{n} = 2.# Замечая, что #0 \leq 2 - x_{n+1} = \frac{8 - x_{n+1}^{3}}{4 + 2 x_{n+1} + x_{n-1}^{2}} = \frac{2 -x_{n}}{4 + 2 x_{n+1} + x_{n+1}^{2}} \leq \frac{2 - x_{n}}{7},# получаем, что #lim 6^{n}(2 - x_{n}) = 0.#
