Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 741
2014-02-26 
Пусть #f \in C^{2}([0,1]).# Доказать, что функцию #f# можно представить в виде разности двух выпуклых вниз функций. #x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.#
Решение:
Пусть #h_{2}(x) = max \{ f^{\prime \prime}(x), 0 \},# #g_{2}(x) = max \{ - f^{\prime \prime}(x), 0 \}.# Пусть #h_{1}(x) = \int_{0}^{x} \left ( \int_{0}^{t} h_{2}(\tau)d \tau \right ) dt, g(x) = \int_{0}^{x} \left ( \int_{0}^{t}g_{2}(\tau) d \tau \right ) dt.# Так как #f^{\prime \prime} (x) = h_{2}(x) - g_{2}(x),# то найдутся числа #a,b# такие, что #f(x) = h_{1}(x) - g(x) + ax + b.# Тогда #f(x) = h(x) - g(x),# где #h(x) = # #= h_{1}(x) + ax + b,# выпуклость #h# и #g# следует из неотрицательности их вторых производных. Замечание. Эта задача становится нетривиальной, если аргумент функции из #\mathbf{R}^{n}, n > 1.# В таком виде она поставлена Ð.Д. Ðлександровым. Недавно появилось решение в случае, когда аргумент из #\mathbf{R}^{2}# (устное сообщение).
Пусть #f \in C^{2}([0,1]).# Доказать, что функцию #f# можно представить в виде разности двух выпуклых вниз функций. #x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.#
Решение:
Пусть #h_{2}(x) = max \{ f^{\prime \prime}(x), 0 \},# #g_{2}(x) = max \{ - f^{\prime \prime}(x), 0 \}.# Пусть #h_{1}(x) = \int_{0}^{x} \left ( \int_{0}^{t} h_{2}(\tau)d \tau \right ) dt, g(x) = \int_{0}^{x} \left ( \int_{0}^{t}g_{2}(\tau) d \tau \right ) dt.# Так как #f^{\prime \prime} (x) = h_{2}(x) - g_{2}(x),# то найдутся числа #a,b# такие, что #f(x) = h_{1}(x) - g(x) + ax + b.# Тогда #f(x) = h(x) - g(x),# где #h(x) = # #= h_{1}(x) + ax + b,# выпуклость #h# и #g# следует из неотрицательности их вторых производных. Замечание. Эта задача становится нетривиальной, если аргумент функции из #\mathbf{R}^{n}, n > 1.# В таком виде она поставлена Ð.Д. Ðлександровым. Недавно появилось решение в случае, когда аргумент из #\mathbf{R}^{2}# (устное сообщение).
