Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 740
2014-02-26 
Пусть функция #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# непрерывна в точке #x = x_{0}# т.е. #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) = (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \: |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon.# (*) Доказать, что в условии (*) для каждого #\varepsilon > 0# можно так подобрать #\delta = \delta (\varepsilon),# что функция #\delta (\varepsilon)# будет непрерывной при #\varepsilon >0.#
Решение:
Пусть при #\varepsilon > 0#
#\Delta (\varepsilon) = sup \{ \delta > 0 | \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon \}.# Легко видеть, что #\forall \varepsilon > 0 \Delta( \varepsilon) \in (0, + \infty],# также если #0 < \varepsilon_{1} <# #< \varepsilon_{2},# то #\Delta (\varepsilon_{1}) \leq \Delta (\varepsilon_{2})# (считаем, что #+ \infty \leq + \infty# ). Если для любого #\varepsilon > 0 \Delta(\varepsilon) = + \infty# то #f(x) = f(x_{0})# и утверждение очевидно. Пусть #\exists \varepsilon_{0}>0 : \Delta (\varepsilon_{0}) < + \infty# Тогда функция #\delta(\varepsilon) = left { \begin{array}{ll} \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{\varepsilon} \Delta(t)dt ,& 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_{0} ,\\ \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{0}^{\varepsilon_{0}} \Delta(t)dt ,& \varepsilon_{0} \leq \varepsilon , \end{array} \right. # является искомой.
Пусть функция #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# непрерывна в точке #x = x_{0}# т.е. #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) = (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \: |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon.# (*) Доказать, что в условии (*) для каждого #\varepsilon > 0# можно так подобрать #\delta = \delta (\varepsilon),# что функция #\delta (\varepsilon)# будет непрерывной при #\varepsilon >0.#
Решение:
Пусть при #\varepsilon > 0#
#\Delta (\varepsilon) = sup \{ \delta > 0 | \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon \}.# Легко видеть, что #\forall \varepsilon > 0 \Delta( \varepsilon) \in (0, + \infty],# также если #0 < \varepsilon_{1} <# #< \varepsilon_{2},# то #\Delta (\varepsilon_{1}) \leq \Delta (\varepsilon_{2})# (считаем, что #+ \infty \leq + \infty# ). Если для любого #\varepsilon > 0 \Delta(\varepsilon) = + \infty# то #f(x) = f(x_{0})# и утверждение очевидно. Пусть #\exists \varepsilon_{0}>0 : \Delta (\varepsilon_{0}) < + \infty# Тогда функция #\delta(\varepsilon) = left { \begin{array}{ll} \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{\varepsilon} \Delta(t)dt ,& 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_{0} ,\\ \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{0}^{\varepsilon_{0}} \Delta(t)dt ,& \varepsilon_{0} \leq \varepsilon , \end{array} \right. # является искомой.
