2022-03-12
Найдите радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:
а) ($x-3$) $^{2}+(y+2)^{2}=16$;
б) $x^{2}+y^{2}-2(x-3y)-15=0$;
в) $x^{2}+y^{2}=x+y+\frac{1}{2}$.
Решение:
а) Окружность радиуса $R$ с центром в точке $A(a;b)$ имеет уравнение вида
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$
В данном случае $a=3$, $b=-2$, $R=4$.
б)
$x^{2}+y^{2}-2(x-3y)-15=0\Leftrightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9-1-9-15=0\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25.$
Следовательно, $a=1$, $b=-3$, $R=5$.
в)
$x^{2}+y^{2}=x+y+\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}+y^{2}-y+\frac{1}{4}++\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=1.$
Следовательно, $a=b=\frac{1}{2}$, $R=1$.