Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 739
2014-02-26 
Даны целочисленные матрицы #A# и #B# порядка 10. Известно, что матрицы #A, A + B, A + 2B, \cdots, A + 25B# имеют целочисленные обратные. Доказать, что матрица #A+2005B# также имеет целочисленную обратную.
Решение:
Так как #det (A + tB)^{-1} = (det (A + tB))^{-1}# - целое число, то получаем #f(t) = det (A +tB) = \pm 1# при #t = 0, 1, \cdots, 25.# Тогда #f(t)^{2} - 1# - многочлен не более, чем 20-й степени, имеющий 26 корней, поэтому он - тождественный ноль. Отсюда #det (A + 2005B) = \pm 1# и по формулам Крамера элементы матрицы # (A + 2005B)^{-1}# - целые.
Даны целочисленные матрицы #A# и #B# порядка 10. Известно, что матрицы #A, A + B, A + 2B, \cdots, A + 25B# имеют целочисленные обратные. Доказать, что матрица #A+2005B# также имеет целочисленную обратную.
Решение:
Так как #det (A + tB)^{-1} = (det (A + tB))^{-1}# - целое число, то получаем #f(t) = det (A +tB) = \pm 1# при #t = 0, 1, \cdots, 25.# Тогда #f(t)^{2} - 1# - многочлен не более, чем 20-й степени, имеющий 26 корней, поэтому он - тождественный ноль. Отсюда #det (A + 2005B) = \pm 1# и по формулам Крамера элементы матрицы # (A + 2005B)^{-1}# - целые.
