Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 738
2014-02-26 
На плоскости задана замкнутая кусочно-гладкая кривая #\Gamma,# ограничивающая выпуклую центрально-симметричную область. Доказать, что в кривую #\Gamma# можно вписать аффинно правильный шестиугольник (т.е. образ правильного шестиугольника при некотором аффинном преобразовании).
Решение:
Пусть #O# - центр симметрии, точки #A_{0},B_{0} \in \Gamma:# #A_{0}B_{0} = diam \Gamma# (*). Тогда прямые #l_{10}# и #l_{20}# (#A_{0} \in l_{10}, B_{0} \in l_{20};# #l_{10}, l_{20} \perp A_{0}B_{0}# ) пересекают #\Gamma# в одной точке (#l_{10}# - в точке #A_{0},# а #l_{20}# - в точке #B_{0}#), т.к. иначе по теореме Пифагора получаем противоречие с условием (*). Пусть прямая #l_{0} \parallel l_{10}# и проходит через точку #O, A_{1}# и #A_{2}# - точки пересечения #l_{0}# с #\Gamma.# Пусть #l_{1}# - прямая между #l_{10}# и #l_{0}# параллельная им и такая, что #l_{1} \bigcap \Gamma = \{ B_{1}, B_{2} \}# и #B_{1}B_{2} = \frac{1}{2}A_{1}A_{2}# (существует по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции). Пусть #l_{2}# симметрична #l_{1}# относительно #l_{0}, l_{2} \bigcap \Gamma = \{ C_{1}, C_{2} \},# #C_{1}C_{2} = \frac{1}{2}A_{1}A_{2}.# Пусть аффинное преобразование #T# переводит параллелограмм #B_{1}B_{2}A_{0}O# в ромб #B_{1}B_{2}A_{2}0# с ребром 1 и углом #\angle B_{1}OA_{2} = 2 \pi/2.# Тогда #T#переводит #B_{1}B_{2}A_{2}C_{2}C_{1}A_{1}# в правильный шестиугольник и, значит, #B_{1}B_{2}A_{2}C_{2}C_{1}A_{1}# - искомый.
На плоскости задана замкнутая кусочно-гладкая кривая #\Gamma,# ограничивающая выпуклую центрально-симметричную область. Доказать, что в кривую #\Gamma# можно вписать аффинно правильный шестиугольник (т.е. образ правильного шестиугольника при некотором аффинном преобразовании).
Решение:
Пусть #O# - центр симметрии, точки #A_{0},B_{0} \in \Gamma:# #A_{0}B_{0} = diam \Gamma# (*). Тогда прямые #l_{10}# и #l_{20}# (#A_{0} \in l_{10}, B_{0} \in l_{20};# #l_{10}, l_{20} \perp A_{0}B_{0}# ) пересекают #\Gamma# в одной точке (#l_{10}# - в точке #A_{0},# а #l_{20}# - в точке #B_{0}#), т.к. иначе по теореме Пифагора получаем противоречие с условием (*). Пусть прямая #l_{0} \parallel l_{10}# и проходит через точку #O, A_{1}# и #A_{2}# - точки пересечения #l_{0}# с #\Gamma.# Пусть #l_{1}# - прямая между #l_{10}# и #l_{0}# параллельная им и такая, что #l_{1} \bigcap \Gamma = \{ B_{1}, B_{2} \}# и #B_{1}B_{2} = \frac{1}{2}A_{1}A_{2}# (существует по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции). Пусть #l_{2}# симметрична #l_{1}# относительно #l_{0}, l_{2} \bigcap \Gamma = \{ C_{1}, C_{2} \},# #C_{1}C_{2} = \frac{1}{2}A_{1}A_{2}.# Пусть аффинное преобразование #T# переводит параллелограмм #B_{1}B_{2}A_{0}O# в ромб #B_{1}B_{2}A_{2}0# с ребром 1 и углом #\angle B_{1}OA_{2} = 2 \pi/2.# Тогда #T#переводит #B_{1}B_{2}A_{2}C_{2}C_{1}A_{1}# в правильный шестиугольник и, значит, #B_{1}B_{2}A_{2}C_{2}C_{1}A_{1}# - искомый.
