Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 737
2014-02-26 
а) Дана дифференцируемая функция #f : [0, 1] \rightarrow# #\mathbf{R}# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].# Найдите #|f_{+}^{\prime}(0)|# (здесь #f_{+}^{\prime}(0)# - производная справа в точке 0). б) Дана непрерывная функция #f : [0, 1] \rightarrow \mathbf{R}.# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2 f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].# Докажите, что существует #f_{+}^{\prime}(0)#
Решение:
а) Пусть #a - f_{+}^{\prime}(0).# Тогда #f(x) = ax + o(x), x \rightarrow + 0,# откуда #x(ax + o(x)) + x^{2} = (ax + o(x))(x + o(x)) + 2 (ax + o(x))^{2}.# или #x^{2}(2a^{2} - 1) = o(x^{2}),# т.е. #a^{2} = 1/2, |a| = 1 / \sqrt{2}.# б) Заметим, что #f(x) = 0 \Longrightarrow x = 0,# поэтому #f(x)# знакопостоянна. Будем считать #f(x) \geq 0.# Пусть #F(x, y) = x \sin y + x^{2} - y \sin x - 2y^{2}.# По формуле Тейлора #F(x,y) = x^{2} - 2y^{2} + o(x^{2} + y^{2})# при #x,y \rightarrow 0.# Подставив #y = f(x),# получаем #x^{2} - 2f^{2}(x) = o(f^{2}(x) + x^{2}), x \rightarrow + 0.# Отсюда последовательно получаем при #x \rightarrow + 0# #\frac{x^{2} - 2f^{2}(x)}{f^{2}(x) + x^{2}} \rightarrow 0, \frac{3x^{2}}{f(x)^{2} + x^{2}} \rightarrow 2, \frac{f^{2}(x) + x^{2}}{x^{2}} \rightarrow frac{3}{2}, \frac{f^{2}(x)}{x^{2}} \rightarrow \frac{1}{2}.# Учитывая постоянство знака, получаем #f(x)/x \rightarrow 1 / \sqrt{2}.# Замечание. Классическая теорема о неявной функции в этой задаче не работает - спасает тейлоровское разложение. О локальном исследовании уравнения #f(x) = 0# можно посмотреть в иной литературе.
а) Дана дифференцируемая функция #f : [0, 1] \rightarrow# #\mathbf{R}# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].# Найдите #|f_{+}^{\prime}(0)|# (здесь #f_{+}^{\prime}(0)# - производная справа в точке 0). б) Дана непрерывная функция #f : [0, 1] \rightarrow \mathbf{R}.# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2 f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].# Докажите, что существует #f_{+}^{\prime}(0)#
Решение:
а) Пусть #a - f_{+}^{\prime}(0).# Тогда #f(x) = ax + o(x), x \rightarrow + 0,# откуда #x(ax + o(x)) + x^{2} = (ax + o(x))(x + o(x)) + 2 (ax + o(x))^{2}.# или #x^{2}(2a^{2} - 1) = o(x^{2}),# т.е. #a^{2} = 1/2, |a| = 1 / \sqrt{2}.# б) Заметим, что #f(x) = 0 \Longrightarrow x = 0,# поэтому #f(x)# знакопостоянна. Будем считать #f(x) \geq 0.# Пусть #F(x, y) = x \sin y + x^{2} - y \sin x - 2y^{2}.# По формуле Тейлора #F(x,y) = x^{2} - 2y^{2} + o(x^{2} + y^{2})# при #x,y \rightarrow 0.# Подставив #y = f(x),# получаем #x^{2} - 2f^{2}(x) = o(f^{2}(x) + x^{2}), x \rightarrow + 0.# Отсюда последовательно получаем при #x \rightarrow + 0# #\frac{x^{2} - 2f^{2}(x)}{f^{2}(x) + x^{2}} \rightarrow 0, \frac{3x^{2}}{f(x)^{2} + x^{2}} \rightarrow 2, \frac{f^{2}(x) + x^{2}}{x^{2}} \rightarrow frac{3}{2}, \frac{f^{2}(x)}{x^{2}} \rightarrow \frac{1}{2}.# Учитывая постоянство знака, получаем #f(x)/x \rightarrow 1 / \sqrt{2}.# Замечание. Классическая теорема о неявной функции в этой задаче не работает - спасает тейлоровское разложение. О локальном исследовании уравнения #f(x) = 0# можно посмотреть в иной литературе.
