Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 735
2014-02-26 
Пусть положительные числа #x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}# удовлетворяют соотношениям #x_{1} + x_{2} = y_{1} + y_{2} = 1, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} <# #< y_{1}^{2} + y_{2}^{2}.# Доказать, что #x_{1} ln x_{1} + x_{2} ln x_{2} < y_{1} ln y_{1} + y_{2} ln y_{2}.#
Решение:
Пусть #h(x) = x ln x + (1 - x )ln(1 - x), g(x) = x^{2} +# #+ (1- x)^{2}. g^{\prime}(x) = 2 (2x - 1).# Если #0 \leq x, y \leq 1/2,# то #g(x) < g(y)# влечет #x > y,# откуда следует #h(x) < h(y),# поскольку #h^{\prime}(x) = 1+# #+ lnx - 1 - ln(1 - x) = ln \frac{x}{1 - x} < 0,# т.к. #\frac{x}{1-x} < 1# при #0 < x < 1/2.#
Пусть положительные числа #x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}# удовлетворяют соотношениям #x_{1} + x_{2} = y_{1} + y_{2} = 1, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} <# #< y_{1}^{2} + y_{2}^{2}.# Доказать, что #x_{1} ln x_{1} + x_{2} ln x_{2} < y_{1} ln y_{1} + y_{2} ln y_{2}.#
Решение:
Пусть #h(x) = x ln x + (1 - x )ln(1 - x), g(x) = x^{2} +# #+ (1- x)^{2}. g^{\prime}(x) = 2 (2x - 1).# Если #0 \leq x, y \leq 1/2,# то #g(x) < g(y)# влечет #x > y,# откуда следует #h(x) < h(y),# поскольку #h^{\prime}(x) = 1+# #+ lnx - 1 - ln(1 - x) = ln \frac{x}{1 - x} < 0,# т.к. #\frac{x}{1-x} < 1# при #0 < x < 1/2.#
