Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 734
2014-02-26 
Пусть #A = \begin{pmatrix} B & C \\ C^{T} & D \end{pmatrix},# где #B, C, D# - действительные матрицы одного порядка, #B# - невырожденная, #B# и #D# - симметрические. Обозначим через #n_{1}, n_{2}, n_{3}# число положительных собственных значений матриц #A, B, D - C^{T}B^{-1}C# соответственно. Доказать, что #n_{1} = n_{2} + n_{3}#.
Решение:
Имеем #A = \begin{pmatrix} B & C \\ C^{T} & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ C^{T}B^{-1} & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & D-C^{T}B^{-1}C \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} E & B^{-1}C \\ 0 & E \end{pmatrix}.# Таким образом, матрица #A# и матрица #A_{1} = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & D-C^{T}B^{-1}C \end{pmatrix}# есть матрица одной и той же квадратичной формы в разных базисах. Утверждение задачи вытекает из закона инерции квадратичных форм.
Пусть #A = \begin{pmatrix} B & C \\ C^{T} & D \end{pmatrix},# где #B, C, D# - действительные матрицы одного порядка, #B# - невырожденная, #B# и #D# - симметрические. Обозначим через #n_{1}, n_{2}, n_{3}# число положительных собственных значений матриц #A, B, D - C^{T}B^{-1}C# соответственно. Доказать, что #n_{1} = n_{2} + n_{3}#.
Решение:
Имеем #A = \begin{pmatrix} B & C \\ C^{T} & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ C^{T}B^{-1} & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & D-C^{T}B^{-1}C \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} E & B^{-1}C \\ 0 & E \end{pmatrix}.# Таким образом, матрица #A# и матрица #A_{1} = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & D-C^{T}B^{-1}C \end{pmatrix}# есть матрица одной и той же квадратичной формы в разных базисах. Утверждение задачи вытекает из закона инерции квадратичных форм.
