Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 733
2014-02-26 
Поверхность #z = f(x, y),# где #f(x,y)# - многочлен степени не ниже второй, обладает свойством: через любую ее точку можно провести две прямые, целиком лежащие на поверхности. Доказать, что поверхность - гиперболический параболоид.
Решение:
Примем за начало координат О какую-нибудь точку на поверхности. Ось #Ox# направим по одной образующей, ось #Oy# - по другой, ось #Oz# оставим прежней. В новых координатах уравнение поверхности имеет вид #z = g(x,y),# где #g# - многочлен степени не ниже второй, #g(0, y) = g(x,0)=0,# т.е. #g(x,y) = xyh(x,y).# Остается доказать, что #h(x,y) = const.# Заметим, что если #l# - какая-либо образующая, а #l_{1}# - ее проекция на плоскость #Oxy,# то функция #g# на прямой #l_{1}# линейна. Действительно, пусть #l_{1}# имеет уравнение #x = x_{0} + at,# #y = y_{0} + bt,# тогда #g(x_{0}+at, y_{0}+bt) = z_{0} + ct.# Ð ассмотрим точку #(0, y_{0}, 0)# на поверхности, #y_{0} \neq 0.# Кроме оси #Oy# через эту точку проходит еще одна образующая #l.# Запишем ее уравнение в виде #y = y_{0} + ax, z = bx.# Тогда имеем тождественно по #x:# #bx = x (y_{0} + ax)h(x, y_{0} + ax).# (*) Покажем, что #a = 0.# Если это не так, то из (*) следует, что #h(x, y_{0} + ax) = 0# тождественно по х, т.е. многочлен #g# обращается в ноль на трех прямых: #x = 0, y = 0, y = y_{0} + ax.# Возьмем любую точку #(x_{1}, y_{1})# внутри треугольника, ограниченного этими прямыми. Ð ассмотрим одну из двух образующих, проходящих через точку #(x_{1}, y_{1}, g(x_{1}, y_{1})).# Проекция этой образующей пересекает границу треугольника в двух точках, в этих точках #g# обращается в ноль. Так как #g# линейна на проекции образующей, то #g(x_{1}, y_{1}) = 0# внутри треугольника, а значит, и везде, т.к. #g# - многочлен. Это противоречит тому, что #g \neq 0# тождественно. При #a = 0# из (*) получаем, что #h(x, y_{0}) = \alpha (y_{0}).# Ðналогично, рассматривая точку #(x_{0}, 0, 0),# получим #h(x_{0}, y) = \beta (x_{0}).# Тогда для любой точки #(x_{0}, y_{0})# имеем #h(x_{0}, y_{0}) = \alpha (y_{0}) = \beta (x_{0})# и #h = const#
Поверхность #z = f(x, y),# где #f(x,y)# - многочлен степени не ниже второй, обладает свойством: через любую ее точку можно провести две прямые, целиком лежащие на поверхности. Доказать, что поверхность - гиперболический параболоид.
Решение:
Примем за начало координат О какую-нибудь точку на поверхности. Ось #Ox# направим по одной образующей, ось #Oy# - по другой, ось #Oz# оставим прежней. В новых координатах уравнение поверхности имеет вид #z = g(x,y),# где #g# - многочлен степени не ниже второй, #g(0, y) = g(x,0)=0,# т.е. #g(x,y) = xyh(x,y).# Остается доказать, что #h(x,y) = const.# Заметим, что если #l# - какая-либо образующая, а #l_{1}# - ее проекция на плоскость #Oxy,# то функция #g# на прямой #l_{1}# линейна. Действительно, пусть #l_{1}# имеет уравнение #x = x_{0} + at,# #y = y_{0} + bt,# тогда #g(x_{0}+at, y_{0}+bt) = z_{0} + ct.# Ð ассмотрим точку #(0, y_{0}, 0)# на поверхности, #y_{0} \neq 0.# Кроме оси #Oy# через эту точку проходит еще одна образующая #l.# Запишем ее уравнение в виде #y = y_{0} + ax, z = bx.# Тогда имеем тождественно по #x:# #bx = x (y_{0} + ax)h(x, y_{0} + ax).# (*) Покажем, что #a = 0.# Если это не так, то из (*) следует, что #h(x, y_{0} + ax) = 0# тождественно по х, т.е. многочлен #g# обращается в ноль на трех прямых: #x = 0, y = 0, y = y_{0} + ax.# Возьмем любую точку #(x_{1}, y_{1})# внутри треугольника, ограниченного этими прямыми. Ð ассмотрим одну из двух образующих, проходящих через точку #(x_{1}, y_{1}, g(x_{1}, y_{1})).# Проекция этой образующей пересекает границу треугольника в двух точках, в этих точках #g# обращается в ноль. Так как #g# линейна на проекции образующей, то #g(x_{1}, y_{1}) = 0# внутри треугольника, а значит, и везде, т.к. #g# - многочлен. Это противоречит тому, что #g \neq 0# тождественно. При #a = 0# из (*) получаем, что #h(x, y_{0}) = \alpha (y_{0}).# Ðналогично, рассматривая точку #(x_{0}, 0, 0),# получим #h(x_{0}, y) = \beta (x_{0}).# Тогда для любой точки #(x_{0}, y_{0})# имеем #h(x_{0}, y_{0}) = \alpha (y_{0}) = \beta (x_{0})# и #h = const#
