Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 731
2014-02-26 
Найти многочлен #P(x)# наименьшей степени, который имеет нуль десятого порядка при #x = 0# и такой, что #P(x) - 1# имеет нуль пятого порядка при #x = 1.#
Решение:
Легко видеть, что #P(x) = 1 + (x - 1)^{5}Q(x)# и кроме того #P(x) = O(x^{10})# при #x \rightarrow 0.# Тогда #Q(x) = (1 - x)^{-5} + O(x^{10}) = \sum_{k=0}^{9} C_{-5}^{k} (-x)^{k} + O(x^{10}).# Ясно, что #Q(x)# будет иметь наименьшую степень, если #Q(x) = \sum_{k=0}^{9} C_{-5}^{k}(-x)^{k}.# Таким образом, #P(x) = 1 + (x - 1)^{5} \sum_{k=0}^{9}C_{-5}^{k}(-x)^{k}.#
Найти многочлен #P(x)# наименьшей степени, который имеет нуль десятого порядка при #x = 0# и такой, что #P(x) - 1# имеет нуль пятого порядка при #x = 1.#
Решение:
Легко видеть, что #P(x) = 1 + (x - 1)^{5}Q(x)# и кроме того #P(x) = O(x^{10})# при #x \rightarrow 0.# Тогда #Q(x) = (1 - x)^{-5} + O(x^{10}) = \sum_{k=0}^{9} C_{-5}^{k} (-x)^{k} + O(x^{10}).# Ясно, что #Q(x)# будет иметь наименьшую степень, если #Q(x) = \sum_{k=0}^{9} C_{-5}^{k}(-x)^{k}.# Таким образом, #P(x) = 1 + (x - 1)^{5} \sum_{k=0}^{9}C_{-5}^{k}(-x)^{k}.#
