Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 727
2014-02-26 
Доказать неравенство #\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix} \leq \left [ \frac{2}{n - 1} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}) \right ]^{\frac{n(n-1)}{4}}#
Решение:
Обозначим определитель в левой части #W_{n}.# Это определитель Вандермонда и он равен #W_{n} = \prod_{i > j} (x_{i} - x_{j}).# Достаточно доказать, что #W^{\frac{4}{n(n-1)}} \leq \frac{2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.# Для оценки левой части в последнем неравенстве применим неравенство о средних: #\left ( \prod_{i > j}(x_{i} - x_{j}) \right )^{\frac{2}{n(n-1)}} \leq \frac{\sum_{i > j} (x_{i} - x_{j})^{2}}{\frac{n(n-1)}{2}}.# Но #\sum_{i > j} (x_{i} - x_{j})^{2} \leq n \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2},# т.к. последнее неравенство эквивалентно тому, что #\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )^{2} \geq 0.#
Доказать неравенство #\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix} \leq \left [ \frac{2}{n - 1} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}) \right ]^{\frac{n(n-1)}{4}}#
Решение:
Обозначим определитель в левой части #W_{n}.# Это определитель Вандермонда и он равен #W_{n} = \prod_{i > j} (x_{i} - x_{j}).# Достаточно доказать, что #W^{\frac{4}{n(n-1)}} \leq \frac{2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.# Для оценки левой части в последнем неравенстве применим неравенство о средних: #\left ( \prod_{i > j}(x_{i} - x_{j}) \right )^{\frac{2}{n(n-1)}} \leq \frac{\sum_{i > j} (x_{i} - x_{j})^{2}}{\frac{n(n-1)}{2}}.# Но #\sum_{i > j} (x_{i} - x_{j})^{2} \leq n \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2},# т.к. последнее неравенство эквивалентно тому, что #\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )^{2} \geq 0.#
