ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Три прямые #r = r_{i} + a_{i}t (i = 1, 2,3)# попарно не пересекаются и не параллельны одной плоскости. Выразить объем параллелепипеда, три ребра которого лежат на данных прямых, через векторы #r_{i}# и #a_{i}.#


Решение:


Найдем прямую, параллельную третьей и пересекающую первую и вторую. Отрезок, ограниченный точками пересечения, будет ребром параллелепипеда. Для этого нужно найти такое #\gamma,# чтобы для некоторых #\alpha# и #\beta# выполнялось равенство #r_{1} + \alpha a_{1} + \gamma a_{3} = r_{2} + \beta a_{2}.# Числа #\alpha,# #\beta# и #\gamma# определяются однозначно, поскольку векторы #a_{1},a_{2},a_{3}# некомпланарны. Умножив равенство на #[a_{1},a_{2}],# получим #\gamma = # #(a_{1}, a_{2}, r_{2} - r_{1}) / (a_{1}, a_{2}, a_{3}).# Таким образом, вектор, задающий одно из ребер, имеет вид #a_{3} \cdot (a_{1}, a_{2}, r_{2} - r_{1}) / (a_{1}, a_{2}, a_{3}).# Другие векторы находятся аналогично. Найдя смешанное произведение этих векторов, получим ответ #V = \left | \frac{(a_{1},a_{2}, r_{2} - r_{1})(a_{2},a_{3}, r_{3} - r_{2})(a_{3},a_{1}, r_{1} - r_{3})}{(a_{1}, a_{2}, a_{3})^{2}} \right |.#