Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 725
2014-02-26 
Пусть #f(x)# - непрерывная периодическая функция. Доказать, что для любого #a \in \mathbf{R}# уравнение #f(x + a) = f(x)# имеет по крайней мере два корня на каждом отрезке, длина которого равна периоду.
Решение:
Ð ассмотрим функцию #g(x) = f(x + a) - f(x).# Пусть #T > 0# - период функции #f/# Тогда #\int_{0}^{T}g(x)dx = 0.# Следовательно, либо #g(x) = 0,# либо #g# принимает на #[0, T]# значения разных знаков. Пусть #\xi < \eta# и #g(\xi)>0,# а #g(\eta) < 0.# Тогда #g(\xi + T) > 0# и по теореме Коши на каждом из интервалов #(\xi, \eta)# и #(\eta, \xi + T)# имеются нули функции #g.#
Пусть #f(x)# - непрерывная периодическая функция. Доказать, что для любого #a \in \mathbf{R}# уравнение #f(x + a) = f(x)# имеет по крайней мере два корня на каждом отрезке, длина которого равна периоду.
Решение:
Ð ассмотрим функцию #g(x) = f(x + a) - f(x).# Пусть #T > 0# - период функции #f/# Тогда #\int_{0}^{T}g(x)dx = 0.# Следовательно, либо #g(x) = 0,# либо #g# принимает на #[0, T]# значения разных знаков. Пусть #\xi < \eta# и #g(\xi)>0,# а #g(\eta) < 0.# Тогда #g(\xi + T) > 0# и по теореме Коши на каждом из интервалов #(\xi, \eta)# и #(\eta, \xi + T)# имеются нули функции #g.#
