Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 724
2014-02-26 
Доказать, что многочлен вида #a_{1}x^{k_{1}} + a_{2}x^{k_{2}} +# #+ \cdots + a_{2003}x^{k_{2003}}# имеет не более 2002 положительных корней (с учетом кратности).
Решение:
Теорема Декарта, утверждающая, что многочлен вида #P_{n}(x) = a_{1}x^{k_{1}} + \cdots + a_{n}x^{k_{n}} (k_{1} < k_{2} < \cdots < k_{n})# имеет не более #n - 1# положительных корней, доказывается индукцией по #n.# При #n = 2 \: P_{2}(x) = x^{k_{1}}(a_{1} + a_{2}x^{k_{2}-k_{1}}).# Покажем, что из справедливости утверждения для степени #n# следует его справедливость для #n+1.# Пусть #N_{f}# - число положительных нулей гладкой функции #f(x)# . Тогда по теореме Ð олля #N_{f^{\prime}} \geq N_{f} - 1.# Продифференцировав многочлен #Q(x) = P_{n+1}(x) / x^{k_{1}},# получим оценку #N_{P_{n+1}} = N_{Q} \leq N_{Q^{\prime}} + 1\leq (n - 1) + 1 = n.#
Доказать, что многочлен вида #a_{1}x^{k_{1}} + a_{2}x^{k_{2}} +# #+ \cdots + a_{2003}x^{k_{2003}}# имеет не более 2002 положительных корней (с учетом кратности).
Решение:
Теорема Декарта, утверждающая, что многочлен вида #P_{n}(x) = a_{1}x^{k_{1}} + \cdots + a_{n}x^{k_{n}} (k_{1} < k_{2} < \cdots < k_{n})# имеет не более #n - 1# положительных корней, доказывается индукцией по #n.# При #n = 2 \: P_{2}(x) = x^{k_{1}}(a_{1} + a_{2}x^{k_{2}-k_{1}}).# Покажем, что из справедливости утверждения для степени #n# следует его справедливость для #n+1.# Пусть #N_{f}# - число положительных нулей гладкой функции #f(x)# . Тогда по теореме Ð олля #N_{f^{\prime}} \geq N_{f} - 1.# Продифференцировав многочлен #Q(x) = P_{n+1}(x) / x^{k_{1}},# получим оценку #N_{P_{n+1}} = N_{Q} \leq N_{Q^{\prime}} + 1\leq (n - 1) + 1 = n.#
