Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 721
2014-02-26 
Пусть #A \subset \mathbf{R}^{n}# - компакт и #B = \left { x \in \mathbf{R}^{n} | \forall x \in B \exists ! a \in A: \| x - a \| = sup_{y \in A} \| x - y \| \right }.# Доказать, что замыкание множества #B# совпадает с #\mathbf{R}^{n}.#
Решение:
Возьмем произвольную точку #x \in \mathbf{R}^{n}# В силу непрерывности нормы и компактности множества #A# найдется #a \in A : \| x - a \| = sup_{y \in A} \| x - y \|.# Пусть #l = \{ x + \lambda(x - a) | \lambda > 0 \}# Обозначим #B_{r}(x) = \{ y \in \mathbf{R}^{n} | \| y - x \| \leq r \}.# Тогда для любого #z \in l# имеем #A \subset B_{\| x -a \|} (x) \subset B_{\| z - a \|} (z),# причем пересечение границ двух последних шаров есть одноточечное множество #\{ a \}# Следовательно, #l \subset B.# Но #x \in \overline{l},# поэтому #x \in \overline{B}.# Замечание. Этот почти тривиальный в #\mathbf{R}^{n}# результат доказан М. Эделстейном в равномерно выпуклых банаховых пространствах (например, в #l_{p}, 1 < p < \infty# ) в 1968 году и применен для обобщения теоремы Крейна- Мильмана о крайних точках. Ðналогичный результат для ближайших точек замкнутых множеств в равномерно выпуклых пространствах доказал СБ. Стечкин в 1963 году при исследовании задач геометрической теории приближений.
Пусть #A \subset \mathbf{R}^{n}# - компакт и #B = \left { x \in \mathbf{R}^{n} | \forall x \in B \exists ! a \in A: \| x - a \| = sup_{y \in A} \| x - y \| \right }.# Доказать, что замыкание множества #B# совпадает с #\mathbf{R}^{n}.#
Решение:
Возьмем произвольную точку #x \in \mathbf{R}^{n}# В силу непрерывности нормы и компактности множества #A# найдется #a \in A : \| x - a \| = sup_{y \in A} \| x - y \|.# Пусть #l = \{ x + \lambda(x - a) | \lambda > 0 \}# Обозначим #B_{r}(x) = \{ y \in \mathbf{R}^{n} | \| y - x \| \leq r \}.# Тогда для любого #z \in l# имеем #A \subset B_{\| x -a \|} (x) \subset B_{\| z - a \|} (z),# причем пересечение границ двух последних шаров есть одноточечное множество #\{ a \}# Следовательно, #l \subset B.# Но #x \in \overline{l},# поэтому #x \in \overline{B}.# Замечание. Этот почти тривиальный в #\mathbf{R}^{n}# результат доказан М. Эделстейном в равномерно выпуклых банаховых пространствах (например, в #l_{p}, 1 < p < \infty# ) в 1968 году и применен для обобщения теоремы Крейна- Мильмана о крайних точках. Ðналогичный результат для ближайших точек замкнутых множеств в равномерно выпуклых пространствах доказал СБ. Стечкин в 1963 году при исследовании задач геометрической теории приближений.
