Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 720
2014-02-26 
Пусть #{ \varepsilon_{n} }# - последовательность, состоящая из #\pm 1.# Может ли число #\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!}# быть рациональным?
Решение:
Не может. Если допустить, что #\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!} = \frac{p}{q}, p \in \mathbf{Z},# #q \in \mathbf{N},# то #q! \left ( \frac{p}{q} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!} \right ) = k - \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!},# где #k \in \mathbf{Z}.# Покажем, что #0 < \left | \sum_{n = q + 1}^{\infty} \frac{q!\varepsilon_{n}}{n!}\right | < 1.# Действительно, #\left | \sum_{n = q+1}^{\infty} \frac{q! \varepsilon_{n}}{n!} \right | \leq \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \cdots < \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^{2}} + \cdots = # #= \frac{1}{q} \leq 1;# и отсюда же следует, что #\left | \sum_{n=q+2}^{\infty} \frac{q! \varepsilon_{n}}{n!} \right | < \frac{1}{q(q+1)} \leq \frac{1}{q + 1} = \left | \frac{\varepsilon_{q+1}q!}{(q+1)!} \right |.#
Пусть #{ \varepsilon_{n} }# - последовательность, состоящая из #\pm 1.# Может ли число #\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!}# быть рациональным?
Решение:
Не может. Если допустить, что #\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!} = \frac{p}{q}, p \in \mathbf{Z},# #q \in \mathbf{N},# то #q! \left ( \frac{p}{q} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!} \right ) = k - \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n!},# где #k \in \mathbf{Z}.# Покажем, что #0 < \left | \sum_{n = q + 1}^{\infty} \frac{q!\varepsilon_{n}}{n!}\right | < 1.# Действительно, #\left | \sum_{n = q+1}^{\infty} \frac{q! \varepsilon_{n}}{n!} \right | \leq \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \cdots < \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^{2}} + \cdots = # #= \frac{1}{q} \leq 1;# и отсюда же следует, что #\left | \sum_{n=q+2}^{\infty} \frac{q! \varepsilon_{n}}{n!} \right | < \frac{1}{q(q+1)} \leq \frac{1}{q + 1} = \left | \frac{\varepsilon_{q+1}q!}{(q+1)!} \right |.#
