Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 719
2014-02-26 
Пусть #A# и #B# - квадратные матрицы порядка #n.# Доказать, что равенство #P(A + B) = P(A) + P^{\prime}(A)B# выполняется для любого многочлена #P(x)# тогда и только тогда, когда #AB - BA = B^{2}#
Решение:
Условие необходимо: достаточно подставить многочлен #P(x) = x^{2}.# Достаточность условия доказывается по индукции: #(A + B)^{n+1} = (A + B)^{n}(A + B) = (A^{2} + n A^{n-1}B)(A + B) = A^{n+1} + nA^{n-1} (BA + B^{2}) + A^{n}B = A^{n+1} + nA^{n-1}AB + A^{n}B = A^{n+1} + (n+1)A^{n}B.#
Пусть #A# и #B# - квадратные матрицы порядка #n.# Доказать, что равенство #P(A + B) = P(A) + P^{\prime}(A)B# выполняется для любого многочлена #P(x)# тогда и только тогда, когда #AB - BA = B^{2}#
Решение:
Условие необходимо: достаточно подставить многочлен #P(x) = x^{2}.# Достаточность условия доказывается по индукции: #(A + B)^{n+1} = (A + B)^{n}(A + B) = (A^{2} + n A^{n-1}B)(A + B) = A^{n+1} + nA^{n-1} (BA + B^{2}) + A^{n}B = A^{n+1} + nA^{n-1}AB + A^{n}B = A^{n+1} + (n+1)A^{n}B.#
