Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 718
2014-02-26 
Последовательность #{ x_{n} }# задана рекуррентно: #x_{0} = 1, x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2}}{2002}.# Доказать, что #x_{2002} < \frac{1}{2}.#
Решение:
Ясно, что #0 < x_{n} < 1# при всех #n.# При сравнении малых величин полезно бывает заменять их обратными, поэтому #\Delta_{n+1} = \frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_{n}} = \frac{x_{n} - x_{n+1}}{x_{n}x_{n+1}} = \frac{x_{n}^{2}/2002}{x_{n}x_{n+1}} = \frac{x_{n}}{2002x_{n+1}} = \frac{1}{2002 - x_{n} } \in \left ( \frac{1}{2002}, \frac{1}{2001} \right ). \text {Отсюда} \: \frac{1}{x_{2002}} = \Delta_{2002} + \cdots + \Delta_{1} + \frac{1}{x_{0}} \in \left ( 1 +\frac{2002}{2002}, 1 + \frac{2002}{2001} \right ).# Следовательно, #\frac{2001}{4003} < x_{2002} < \frac{1}{2}.#
Последовательность #{ x_{n} }# задана рекуррентно: #x_{0} = 1, x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2}}{2002}.# Доказать, что #x_{2002} < \frac{1}{2}.#
Решение:
Ясно, что #0 < x_{n} < 1# при всех #n.# При сравнении малых величин полезно бывает заменять их обратными, поэтому #\Delta_{n+1} = \frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_{n}} = \frac{x_{n} - x_{n+1}}{x_{n}x_{n+1}} = \frac{x_{n}^{2}/2002}{x_{n}x_{n+1}} = \frac{x_{n}}{2002x_{n+1}} = \frac{1}{2002 - x_{n} } \in \left ( \frac{1}{2002}, \frac{1}{2001} \right ). \text {Отсюда} \: \frac{1}{x_{2002}} = \Delta_{2002} + \cdots + \Delta_{1} + \frac{1}{x_{0}} \in \left ( 1 +\frac{2002}{2002}, 1 + \frac{2002}{2001} \right ).# Следовательно, #\frac{2001}{4003} < x_{2002} < \frac{1}{2}.#
