Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 717
2014-02-26 
Зная, что #\int_{0}^{1} \frac{ln(1 + x)}{x} dx = \frac{\pi^{2}}{12},# вычислить #\int_{0}^{1} \frac{ln(1 - x^{3})}{x} dx.#
Решение:
Пусть #I_{k} = \int_{0}^{1} \frac{ln(1 - x^{k})}{x} dx = \frac{1}{k} \int_{0}^{1} \frac{ln(1 - y)}{y}dy.# Тогда #I = \int_{0}^{1} \frac{}{} dx = I_{2} - I_{1} = - \frac{1}{2} I_{1}, \text{а} \: I_{3} = \frac{1}{3}I_{1} = - \frac{2}{3}I_{1} = - \frac{2}{3} I = - \frac{\pi^{2}}{18}.#
Зная, что #\int_{0}^{1} \frac{ln(1 + x)}{x} dx = \frac{\pi^{2}}{12},# вычислить #\int_{0}^{1} \frac{ln(1 - x^{3})}{x} dx.#
Решение:
Пусть #I_{k} = \int_{0}^{1} \frac{ln(1 - x^{k})}{x} dx = \frac{1}{k} \int_{0}^{1} \frac{ln(1 - y)}{y}dy.# Тогда #I = \int_{0}^{1} \frac{}{} dx = I_{2} - I_{1} = - \frac{1}{2} I_{1}, \text{а} \: I_{3} = \frac{1}{3}I_{1} = - \frac{2}{3}I_{1} = - \frac{2}{3} I = - \frac{\pi^{2}}{18}.#
