Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 715
2014-02-26 
Доказать, что единичный квадрат можно разрезать на #N# квадратов меньшего размера, если #N# достаточно велико.
Решение:
Очевидно, квадрат можно разрезать на #k^{2}# квадратов меньшего размера, #k \geq 2.# Это число можно увеличить до #k^{2} + p (m^{2} - 1) + q(n^{2} - 1),# где #m, n, p, q# - любые натуральные. Если натуральные числа #a, b# - взаимно простые, то любое целое число #c# можно представить в виде #c = ax + by (xmy \in \mathbf{Z})# При этом, если натуральное #c# достаточно велико, то найдутся неотрицательные решения. Действительно, #\{ 0, a, \cdots, (b-1)a \}# - полная система вычетов по модулю #b.# Следовательно, #ax equiv c (\mod b)# при некотором #x \in \{ 0,1, \cdots, b-1 \}.# Если #c \geq (b=1) a,# то число #y = \frac{c- ax}{b}# является неотрицательным. Взяв #m =2, n =3,# получаем пару взаимно простых чисел #a = m^{2} -1 = 3 \text{и} \: b = n^{2} - 1 = 8.# Существование разбиения вида #N = k^{2} + 3p + 8q# для достаточно большого #N# следует из приведенного выше рассуждения.
Доказать, что единичный квадрат можно разрезать на #N# квадратов меньшего размера, если #N# достаточно велико.
Решение:
Очевидно, квадрат можно разрезать на #k^{2}# квадратов меньшего размера, #k \geq 2.# Это число можно увеличить до #k^{2} + p (m^{2} - 1) + q(n^{2} - 1),# где #m, n, p, q# - любые натуральные. Если натуральные числа #a, b# - взаимно простые, то любое целое число #c# можно представить в виде #c = ax + by (xmy \in \mathbf{Z})# При этом, если натуральное #c# достаточно велико, то найдутся неотрицательные решения. Действительно, #\{ 0, a, \cdots, (b-1)a \}# - полная система вычетов по модулю #b.# Следовательно, #ax equiv c (\mod b)# при некотором #x \in \{ 0,1, \cdots, b-1 \}.# Если #c \geq (b=1) a,# то число #y = \frac{c- ax}{b}# является неотрицательным. Взяв #m =2, n =3,# получаем пару взаимно простых чисел #a = m^{2} -1 = 3 \text{и} \: b = n^{2} - 1 = 8.# Существование разбиения вида #N = k^{2} + 3p + 8q# для достаточно большого #N# следует из приведенного выше рассуждения.
