Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 712
2014-02-26 
Пусть #f \in C(\mathbf{R})# и ни на одном интервале функция #f# не является монотонной. Доказать, что на любом интервале имеются точки минимума функции #f.#
Решение:
Возьмем произвольный интервал #(x_{0} - \delta, x_{0} + \delta),# #\delta > 0.# Так как #f# не является монотонно возрастающей на #[x_{0} - \delta, x_{0}],# то найдутся точки #p, q \in [x_{0} - \delta, x_{0}]# такие, что#p < q# и #f(p) > f(q)# Ðналогично, найдутся точки #r,s \in [x_{0},x_{0}+ \delta]:# #r < s, f(r) < f(s)# (т.к. #f# не является монотонно убывающей на #[x_{0}, x_{0} + \delta])# По теореме Вейерштрасса на отрезке #[p,s]# функция #f# достигает своей нижней грани, и этой точкой глобального минимума не могут быть точки #p, s.# Следовательно, на интервале #(p, x) \subset (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)# имеется точка минимума #f.# Замечание. Отметим, что любая функция из #C( \mathbf{R} )# не дифференцируемая ни в одной точке из #\mathbf{R}# (функция Вейерштрасса) удовлетворяет условию задачи.
Пусть #f \in C(\mathbf{R})# и ни на одном интервале функция #f# не является монотонной. Доказать, что на любом интервале имеются точки минимума функции #f.#
Решение:
Возьмем произвольный интервал #(x_{0} - \delta, x_{0} + \delta),# #\delta > 0.# Так как #f# не является монотонно возрастающей на #[x_{0} - \delta, x_{0}],# то найдутся точки #p, q \in [x_{0} - \delta, x_{0}]# такие, что#p < q# и #f(p) > f(q)# Ðналогично, найдутся точки #r,s \in [x_{0},x_{0}+ \delta]:# #r < s, f(r) < f(s)# (т.к. #f# не является монотонно убывающей на #[x_{0}, x_{0} + \delta])# По теореме Вейерштрасса на отрезке #[p,s]# функция #f# достигает своей нижней грани, и этой точкой глобального минимума не могут быть точки #p, s.# Следовательно, на интервале #(p, x) \subset (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)# имеется точка минимума #f.# Замечание. Отметим, что любая функция из #C( \mathbf{R} )# не дифференцируемая ни в одной точке из #\mathbf{R}# (функция Вейерштрасса) удовлетворяет условию задачи.
