Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 711
2014-02-26 
Пусть #{x_{i}}_{i=1}^{n}# - конечная убывающая последовательность положительных чисел. Доказать, что #\left ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \right )^{\frac{1}{2}} \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}}.#
Решение:
Имеем оценку #\left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \right )^{2} = \left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \right ) \left ( \sum_{j=1}^{n} \frac{x_{j}}{\sqrt{j}} \right ) \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \left ( \sum_{j=1}^{i} \frac{x_{j}}{\sqrt{j}} \right ) \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \cdot i \cdot \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.#
Пусть #{x_{i}}_{i=1}^{n}# - конечная убывающая последовательность положительных чисел. Доказать, что #\left ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \right )^{\frac{1}{2}} \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}}.#
Решение:
Имеем оценку #\left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \right )^{2} = \left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \right ) \left ( \sum_{j=1}^{n} \frac{x_{j}}{\sqrt{j}} \right ) \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \left ( \sum_{j=1}^{i} \frac{x_{j}}{\sqrt{j}} \right ) \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} \cdot i \cdot \frac{x_{i}}{\sqrt{i}} = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.#
