Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 710
2014-02-26 
Дана возрастающая функция #f : [0, 1] \rightarrow [0,1]# Доказать, что найдется такая точка #x \in [0, 1],# что #f(x) = x.#
Решение:
Если #0 = f(0),# то задача решена. Если #0 < f(x),# то множество #A = \{ x \in [0,1] | f(x) > x \}# непусто. Пусть #a = sup A,# #b = f(a).# Покажем, что #a = b.# Предположим противное: #a < b# или #a > b.# 1) Если #a < b,# то #b = f(a) \leq \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \leq \frac{a+b}{2} < b.# 2) Если #a > b = f(a),# то #a \not \in A.# По определению #sup A \forall c < a# #\exists x_{c} \in A : a \geq x_{c} >c.# Взяв #c = b,# получаем #b = f(a) \geq f(x_{b}) > # #> x_{b} > b.# Итак, в обоих случаях получили противоречие, значит #a = b.# Замечание. Задача примечательна тем, что в этом простейшем результате о неподвижной точке отсутствует требование непрерывности функции f.
Дана возрастающая функция #f : [0, 1] \rightarrow [0,1]# Доказать, что найдется такая точка #x \in [0, 1],# что #f(x) = x.#
Решение:
Если #0 = f(0),# то задача решена. Если #0 < f(x),# то множество #A = \{ x \in [0,1] | f(x) > x \}# непусто. Пусть #a = sup A,# #b = f(a).# Покажем, что #a = b.# Предположим противное: #a < b# или #a > b.# 1) Если #a < b,# то #b = f(a) \leq \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \leq \frac{a+b}{2} < b.# 2) Если #a > b = f(a),# то #a \not \in A.# По определению #sup A \forall c < a# #\exists x_{c} \in A : a \geq x_{c} >c.# Взяв #c = b,# получаем #b = f(a) \geq f(x_{b}) > # #> x_{b} > b.# Итак, в обоих случаях получили противоречие, значит #a = b.# Замечание. Задача примечательна тем, что в этом простейшем результате о неподвижной точке отсутствует требование непрерывности функции f.
