Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 709
2014-02-26 
Пусть #P(x)# — многочлен степени #n# с вещественными коэффициентами, имеющий только вещественные корни. Доказать, что #(n-1)(P^{\prime}(x))^{2} \geq nP(x)P^{\prime \prime}(x)# для любого #x \in \mathbf{R}#
Решение:
Достаточно доказать неравенство при #n> 1# и при #x \neq x_{i},# где #x_{1}, \cdots, x_{n}# — корни многочлена #P(x).# Имеем #\frac{P^{\prime}(x)}{P(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x - x_{i}}, \frac{P^{\prime \prime}(x)}{P(x)} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})}.# Следовательно, #(n-1) \left ( \frac{P^{\prime }(x)}{P(x)} \right )^{2} - n \frac{P^{\prime \prime}(x)}{P(x)} =# #= (n-1) \left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x - x_{i}} \right )^{2} - n \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n-1}{(x - x_{i})^{2}} - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left ( \frac{1}{x - x_{i}} - \frac{1}{x- x_{j}} \right )^{2} \geq 0.#
Пусть #P(x)# — многочлен степени #n# с вещественными коэффициентами, имеющий только вещественные корни. Доказать, что #(n-1)(P^{\prime}(x))^{2} \geq nP(x)P^{\prime \prime}(x)# для любого #x \in \mathbf{R}#
Решение:
Достаточно доказать неравенство при #n> 1# и при #x \neq x_{i},# где #x_{1}, \cdots, x_{n}# — корни многочлена #P(x).# Имеем #\frac{P^{\prime}(x)}{P(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x - x_{i}}, \frac{P^{\prime \prime}(x)}{P(x)} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})}.# Следовательно, #(n-1) \left ( \frac{P^{\prime }(x)}{P(x)} \right )^{2} - n \frac{P^{\prime \prime}(x)}{P(x)} =# #= (n-1) \left ( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x - x_{i}} \right )^{2} - n \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n-1}{(x - x_{i})^{2}} - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{2}{(x - x_{i})(x - x_{j})} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left ( \frac{1}{x - x_{i}} - \frac{1}{x- x_{j}} \right )^{2} \geq 0.#
