ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #L# — вещественное линейное пространство, #dim L = 10, L_{1}# и #L_{2}# — подпространства #L, L_{1} \subset L_{2},# #dim L_{1} = 3, dim L_{2} = 6.# Пусть #\mathbf{E}# — пространство тех линейных преобразований #L,# для которых #L_{1}# и #L_{2}# являются инвариантными подпространствами. Найти размерность пространства #\mathbf{E}#


Решение:


Пусть #\{ e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{10}\}# — такой базис в #L,# что #\{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}# - базис в #L_{1},# а #\{ e_{1}, \cdots , e_{6} \}# - в #L_{2}.# В этом базисе матрица преобразования из #\mathbf{E}# имеет вид
#\begin{pmatrix} * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & * & * \\ \end{pmatrix}#
Следовательно, #dim \mathbf{E} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 = 67.#