Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 707
2014-02-26 
Пусть невырожденная матрица #M# порядка #2n# и обратная матрица #M^{-1}# разбиты на квадратные блоки #M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}, M^{-1} = \begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix}.# Доказать, что #det M \cdot det H = det A.#
Решение:
Пусть #I# — единичная матрица порядка #n.# Тогда, применяя правила умножения блочных матриц, получаем #det M \cdot det H = det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot det \begin{pmatrix} I & F \\ 0 & H \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I & F \\ 0 & H \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & I \end{pmatrix} = det A.#
Пусть невырожденная матрица #M# порядка #2n# и обратная матрица #M^{-1}# разбиты на квадратные блоки #M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}, M^{-1} = \begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix}.# Доказать, что #det M \cdot det H = det A.#
Решение:
Пусть #I# — единичная матрица порядка #n.# Тогда, применяя правила умножения блочных матриц, получаем #det M \cdot det H = det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot det \begin{pmatrix} I & F \\ 0 & H \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I & F \\ 0 & H \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & I \end{pmatrix} = det A.#
