Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 706
2014-02-26 
Существует ли такая биекция #\pi : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N},# что #\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi(n)}{n^{2}} < + \infty?#
Решение:
Не существует по критерию Коши. Покажем, что #\sum_{n =N +1}^{3N} \frac{\pi(n)}{n^{2}} > \frac{1}{9}# при любом #N \geq 1.# Среди #2N# чисел #\pi (N + 1), \cdots, \pi (3N),# по крайней мере, #N# чисел больше, чем #N.# Следовательно, #\sum_{n = N+1}^{3N} \frac{\pi (n)}{n^{2}} > \frac{1}{(3N)^{2}} \sum_{n = N+1}^{3N} \pi (n) > \frac{1}{9N^{2}} \cdot N \cdot N.#
Существует ли такая биекция #\pi : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N},# что #\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi(n)}{n^{2}} < + \infty?#
Решение:
Не существует по критерию Коши. Покажем, что #\sum_{n =N +1}^{3N} \frac{\pi(n)}{n^{2}} > \frac{1}{9}# при любом #N \geq 1.# Среди #2N# чисел #\pi (N + 1), \cdots, \pi (3N),# по крайней мере, #N# чисел больше, чем #N.# Следовательно, #\sum_{n = N+1}^{3N} \frac{\pi (n)}{n^{2}} > \frac{1}{(3N)^{2}} \sum_{n = N+1}^{3N} \pi (n) > \frac{1}{9N^{2}} \cdot N \cdot N.#
