Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 705
2014-02-26 
Пусть #f \in C([0,1])# и для любых #x, y \in [0,1]# выполняется неравенство #xf(x) + yf(x) \leq 1.# Доказать, что #\int_{0}^{1} f(x) dx \leq \frac{\pi}{4}.#
Решение:
Заметим, что #I = \int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{\pi /2} f(\sin \phi ) \cos \phi d \phi = \int_{0}^{\pi / 2} f(\cos \phi) \sin \phi d \phi.# Отсюда следует, что #2I = \int_{0}^{\pi / 2}(f( \sin \phi) \cos \phi + f (\cos \phi) \sin \phi) d \phi \leq \int_{0}^{\pi /2} d \phi = \frac{ \pi}{2}.#
Пусть #f \in C([0,1])# и для любых #x, y \in [0,1]# выполняется неравенство #xf(x) + yf(x) \leq 1.# Доказать, что #\int_{0}^{1} f(x) dx \leq \frac{\pi}{4}.#
Решение:
Заметим, что #I = \int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{\pi /2} f(\sin \phi ) \cos \phi d \phi = \int_{0}^{\pi / 2} f(\cos \phi) \sin \phi d \phi.# Отсюда следует, что #2I = \int_{0}^{\pi / 2}(f( \sin \phi) \cos \phi + f (\cos \phi) \sin \phi) d \phi \leq \int_{0}^{\pi /2} d \phi = \frac{ \pi}{2}.#
