2021-11-26
Дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AB=3$, $AD=\sqrt{3}+1$ и $\angle BAD=60^{\circ}$. На стороне $AB$ взята такая точка $K$, что $AK:KB=2:1$. Через точку $K$ параллельно $AD$ проведена прямая. На этой прямой внутри параллелограмма выбрана точка $L$, а на стороне $AD$ выбрана точка $M$ так, что $AM=KL$. Прямые $BM$ и $CL$ пересекаются в точке $N$. Найдите угол $BKN$.
Решение:
Воспользуемся следующим утверждением.
Через точку $X$, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной $X$ равновелики тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на диагонали параллелограмма.
Пусть прямые $BM$ и $KD$ пересекаются в точке $N$. Докажем, что прямая $CL$ проходит через точку $N$. Для этого проведём через точку $N$ прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная $AB$, пересекает стороны $BC$ и $AD$ соответственно в точках $P$ и $Q$, а вторая прямая - стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $R$ и $S$. Продолжим $LM$ и $KL$ до пересечения со сторонами соответственно $BC$ и $CD$ в точках $F$ и $G$. Пусть отрезки $MF$ и $RS$ пересекаются в точке $E$, а отрезки $KG$ и $PQ$ - в точке $H$.
Поскольку точка $N$ лежит на диагонали $BM$ параллелограмма $ABFM$ и на диагонали $KD$ параллелограмма $AKGD$, то $S_{ARNQ}=S_{NPFE}$ и $S_{ARNQ}=S_{NHGS}$. Значит, $S_{NPFE}=S_{NHGS}$, поэтому параллелограммы $HPFL$ и $ELGS$ равновелики. Следовательно, точка $L$ лежит на диагонали $CN$ параллелограмма $NPCS$. Поэтому прямая $CL$ проходит через точку $N$.
Из треугольника $AKD$ по теореме косинусов находим, что
$KD^{2}=AK^{2}+AD^{2}-2\cdot AK\cdot AD\cdot\cos60^{\circ}=2^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2}-2\cdot2\cdot(\sqrt{3}+1)\cdot\frac{1}{2}=6,$
$\cos\angle AKD=\frac{KD^{2}+KA^{2}-AD^{2}}{2\cdot KD\cdot KA}=\frac{4+6-(\sqrt{3}+1)^{2}}{2\cdot2\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$
Следовательно,
$\angle AKD=\arccos\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=75^{\circ},$
$\angle BKN=180^{\circ}-\angle AKD=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}.$