2021-11-26
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) отношение расстояний от центра вписанной в треугольник $ABC$ окружности до вершин углов $B$ и $C$ соответственно равно $k$. Найдите углы треугольника $ABC$. Каковы возможные значения $k$?
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$, $OC=x$. Тогда
$OB=kx,~\angle BCO=\frac{\alpha}{2},~\angle OBC=90^{\circ}-\alpha$
(т.к. $O$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$).
Применяя теорему синусов к треугольнику $BOC$, получим равенство
$\frac{BO}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{OC}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}$, или $\frac{kx}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{x}{\cos\alpha}$, или $k\cos\alpha=\sin\frac{\alpha}{2}.$
Последнее уравнение можно привести к виду
$2k\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}-k=0.$
Поскольку $0\lt\alpha\lt90^{\circ}$, то $0\lt\frac{\alpha}{2}\lt45^{\circ}$, поэтому $0\lt\sin\frac{\alpha}{2}\lt\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, нас устраивает только такой корень квадратного уравнения $kt^{2}+t-k=0$, который удовлетворяет условию $0\lt t\lt\frac{\sqrt{2}}{2}$, т.е. $t=\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}$.
Действительно, т.к. $k\gt0$, осталось проверить, что
$\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}\lt\frac{\sqrt{2}}{2}$, т.е. $\sqrt{1+8k^{2}}\lt2k\sqrt{2}+1,$
что равносильно неравенству $1+8k^{2}\lt8k^{2}+4k\sqrt{2}+1$, или $k\gt0$.
Следовательно,
$\angle BAC=\angle ACB=\alpha=2\arcsin\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k},$
$\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-4\arcsin\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}.$