2021-11-26
Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник $ABC$, вторая касается стороны $AC$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$. Известно, что эти окружности касаются друг друга, произведение их радиусов равно 20, а угол $BAC$ равен $\arccos\frac{2}{3}$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть первая (вписанная) окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ соответственно в точках $M$ и $P$, вторая (вневписанная) окружность касается продолжений сторон $AB$ и $BC$ соответственно в точках $N$ и $Q$, а $K$ - точка касания окружностей ($K$ на стороне $AC$). По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,
$BN=BQ,~BM=BP,~MN=PQ,~AM=AK=AN=\frac{1}{2}MN,$
$CP=CK=CQ=\frac{1}{2}PQ,$
поэтому $AB=BN-AN=BQ-CQ=BC$, т.е. треугольник $ABC$- равнобедренный. Его медиана $BK$ является высотой.
Пусть $r$ и $R$ - радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда (см. задачу @H365)
$AC=MN=PQ=2\sqrt{rR}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5},AK=\frac{1}{2}\cdot AC=2\sqrt{5}.$
Из прямоугольного треугольника $BAK$ находим, что
$AB=\frac{AK}{\cos\angle BAC}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{2}{3}}=3\sqrt{5}.$
Следовательно,
$AB+BC+AC=3\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=10\sqrt{5}.$