Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 703
2014-02-26 
Найти матрицу третьего порядка #T(x) = T_{0} + \frac{1}{x} T_{1} + \cdots + \frac{1}{x^{n}}T_{n}# (#T_{k}# — постоянные матрицы) такую, что при #x \neq 0# выполнено равенство #det T(x) = 1,# а матрицу #A(x) = T(x) \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sin x}{x} & e^{2x} & \frac{\sin^{x}}{x^{2}}\\ x^{3} & \frac{ln(1+x)}{x} & \frac{\cos x}{x^{2}} \\ 0 & 0 & e^{x} \end{pmatrix}# можно доопределить в нуле так, что после этого она станет невырожденной и непрерывной в некоторой окрестности нуля.
Решение:
Подойдет матрица #T(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{x} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =# #= T_{2}T_{1}.# После умножения на #T_{1}# уничтожается главная особенность в каждой строке и т.д. Матрица #T(x)# не единственна. Замечание. Фактически, это способ доказательства леммы Соважа.
Найти матрицу третьего порядка #T(x) = T_{0} + \frac{1}{x} T_{1} + \cdots + \frac{1}{x^{n}}T_{n}# (#T_{k}# — постоянные матрицы) такую, что при #x \neq 0# выполнено равенство #det T(x) = 1,# а матрицу #A(x) = T(x) \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sin x}{x} & e^{2x} & \frac{\sin^{x}}{x^{2}}\\ x^{3} & \frac{ln(1+x)}{x} & \frac{\cos x}{x^{2}} \\ 0 & 0 & e^{x} \end{pmatrix}# можно доопределить в нуле так, что после этого она станет невырожденной и непрерывной в некоторой окрестности нуля.
Решение:
Подойдет матрица #T(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{x} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =# #= T_{2}T_{1}.# После умножения на #T_{1}# уничтожается главная особенность в каждой строке и т.д. Матрица #T(x)# не единственна. Замечание. Фактически, это способ доказательства леммы Соважа.
