2021-11-26
Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника $ABC$, в котором углы при вершинах $A$ и $B$ равны $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины $A$.
Решение:
Пусть $K$, $L$ и $M$ - середины сторон соответственно $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$, $AP$ - искомая высота. Треугольник $ABC$ подобен треугольнику $LMK$ с коэффициентом 2. Если $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, то
$ML=2R\sin\angle MKL=4\cdot\sin105^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2}.$
Пусть $LH$ - высота треугольника $KLM$. Из прямоугольного треугольника $MHL$ находим, что
$LH=ML\cdot\sin\angle KML=(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot\sin45^{\circ}=1+\sqrt{3}.$
Следовательно, $AP=2LH=2+2\sqrt{3}$.