2021-11-26
Через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, провели прямую $MN$ параллельно основанию $AB$ ($M$ лежит на $BC$, $N$ - на $AC$). Найдите периметр четырёхугольника $ABMN$, если известно, что $AB=5$, $MN=3$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Тогда $AO$ - биссектриса угла $CAB$. Поэтому
$\angle NOA=\angle BAO=\angle NAO.$
Значит, треугольник $ANO$ равнобедренный, $AN=ON$. Аналогично $BM=OM$. Следовательно,
$AB+NM+AN+MB=AB+MN+NO+OM+AB+MN+MN=5+3+3=11.$