2021-11-26
Диагональ $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $ACD$, если известно, что диагональ $BD$ делит $AC$ в отношении $2:1$ (считая от точки $A$), а $\angle BAC=30^{\circ}$.
Решение:
Поскольку точки $B$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AC$, то $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$. Обозначим через $R$ радиус окружности. Пусть $N$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, $M$ и $K$ - проекции вершин соответственно $B$ и $D$ на $AC$. Тогда
$CN=\frac{2}{3}R,~CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}R,$
$MN=CN-CM=\frac{2}{3}R-\frac{1}{2}R=\frac{1}{6}R,~BM=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$
Из прямоугольного треугольника $BMN$ находим, что
$BM=\sqrt{BN^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}R^{2}-\frac{1}{36}R^{2}}=\frac{R\sqrt{7}}{3}.$
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд $BN\cdot ND=AN\cdot NC$, откуда находим, что
$ND=\frac{AN\cdot NC}{BN}=\frac{\frac{2}{3}R\cdot\frac{2}{3}R}{\frac{R\sqrt{7}}{3}}=\frac{8R}{3\sqrt{7}}.$
Из подобия прямоугольных треугольников $BMN$ и $DKN$ следует, что
$\frac{BM}{DK}=\frac{BN}{ND}=\frac{\frac{R\sqrt{7}}{3}}{\frac{8R}{3\sqrt{7}}}=\frac{7}{8}.$
Следовательно,
$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ACD}}=\frac{BN}{ND}=\frac{7}{8}.$