2021-11-26
Стороны ромба $EFGH$ являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников $EAF$, $FDG$, $GCH$, $HBE$, причём все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом $EFGH$. Сумма площадей четырёхугольника $ABCD$ и ромба $EFGH$ равна 12. Найдите $GH$.
Решение:
Стороны ромба, а значит, и опирающиеся на них треугольники симметричны относительно каждой диагонали ромба. Поэтому четырёхугольник $ABCD$ - прямоугольник. Если сторона ромба равна $a$, а его острый угол равен $\alpha$, то
$\angle DFA=45^{\circ}+45^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha,~\angle DCG=(180^{\circ}-\alpha)-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}-\alpha.$
Найдём стороны прямоугольника $ABCD$:
$AD^{2}=AF^{2}+FD^{2}-2AF\cdot FD\cdot\cos\angle DFA=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos(90^{\circ}-\alpha)=a^{2}(1-\sin\alpha),$
$CD^{2}=DG^{2}+GC^{2}-2DG\cdot GC\cdot\cos\angle DGC=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos(90^{\circ}-\alpha)=a^{2}(1-\sin\alpha).$
Поэтому
$12=S_{ABCD}+S_{EFGH}=AD\cdot CD+a^{2}\sin\alpha=a^{2}(1-\sin\alpha)+a^{2}\sin\alpha=a^{2}.$
Следовательно, $a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.