2021-11-26
На одной стороне угла $O$ взяты точки $K$, $L$, $M$, а на другой - точки $P$, $Q$, $R$, так, что $KQ\perp PR$, $PL\perp KM$, $LR\perp PQ$, $QM\perp KL$. Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника $KPRM$ окружности до точки $O$ к длине отрезка $KP$ равно $\frac{17}{6}$. Найдите величину угла $O$.
Решение:
Пусть искомый угол равен $\alpha$. Из прямоугольных треугольников $OMQ$, $OKQ$, $ORL$ и $OLP$ находим, что
$OQ=\frac{OM}{\cos\alpha},~OK=\frac{OQ}{\cos\alpha}=\frac{OM}{\cos^{2}\alpha},~OL=\frac{OR}{\cos\alpha},~OP=\frac{OL}{\cos\alpha}=\frac{OR}{\cos^{2}\alpha},$
откуда $\frac{OK}{OM}=\frac{OP}{OR}$, поэтому треугольники $OKP$ и $OMR$ подобны. Значит, $KP\parallel MR$ и вписанный четырёхугольник $KPRM$ - равнобедренная трапеция. Поскольку треугольники $OKP$ и $OMR$ равнобедренные, центр $T$ указанной окружности лежит на биссектрисе данного угла.
Обозначим $KP=x$. Пусть $A$ - проекция точки $T$ на хорду $PR$. Тогда $A$ - середина $PR$, поэтому
$OA=\frac{OP+OR}{2},~OP=\frac{\frac{x}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}},~OR=OP\cdot\cos^{2}\alpha=\frac{x\cos^{2}\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}},$
$OT=OA:\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{OP+OR}{2}:\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{x(1+\cos^{2}\alpha)}{4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{x(1+\cos^{2}\alpha)}{4\sin\frac{\alpha}{2}}.$
По условию задачи $\frac{OT}{KP}=\frac{17}{6}$. Из уравнения $\frac{1+\cos^{2}\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{17}{6}$ находим, что $\sin\alpha=\frac{1}{3}$.