2021-11-26
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $BM=BN$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная $BC$, а через точку $N$ - прямая перпендикулярная $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $O$. Продолжение отрезка $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P$ и делит её на отрезки $AP=5$ и $PC=4$. Найдите длину отрезка $BP$, если известно, что $BC=6$.
Решение:
В равнобедренном треугольнике $BMN$ точка $O$ является точкой пересечения высот. Поэтому $BP$ - биссектриса треугольника $BMN$ и треугольника $ABC$. По теореме о биссектрисе треугольника $AB:BC=AP:PC$, поэтому
$AB=\frac{AP\cdot BC}{PC}=\frac{5\cdot6}{4}=\frac{15}{2}.$
По формуле для квадрата биссектрисы треугольника
$BP^{2}=AB\cdot BC-AP\cdot PC=\frac{15}{2}\cdot6-5\cdot4=25.$
Следовательно, $BP=5$.