ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-02-14   
Доказать, что при любом натуральном #n# существует сечение #n#мерного куба #\{x \in \mathbf{R}^{n} | |x_{k}| \leq 1, k = 1, \cdots, n \}# двумерной плоскостью, являющееся правильным #2n# - угольником.



Решение:


Проведем через начало координат в #\mathbf{R}^{n}# плоскость, порожденную векторами #a# и #b.# Она пересекает куб по множеству #{\alpha a + \beta b ||\alpha a_{k}| \leq 1, k = 1, \cdots, n}.# Векторы #a# и #b# остаточно выбрать так, чтобы выполнялись следующие свойства:
1) ##
2) на двумерной плоскости с координатами #(\alpha, \beta)# неравенства #|\alpha a_{k} + \beta b_{k}| \leq 1, k = 1, \cdots, n,# задают правильный #2n# - угольник.
Оба свойства выполняются, например, при #a_{k} = \sin \frac{k \pi}{n}, b_{k}#
#= \cos \frac{k \pi}{n} : (a, b) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2k \pi}{n} = 0,#
#\| a \|^{2} = \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2k \pi}{n} = \frac{n}{2}, \| b \|^{2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2k \pi}{n} = \frac{n}{2}.#