2021-11-26
В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $90^{\circ}$, $AB=BC=2$. На основании $AC$ взяты точки $K$ и $L$ так, что три угла между $BA$ и $BK$, $BK$ и $BL$, $BL$ и $BC$ соответственно равны между собой. Найдите длину отрезка $BK$.
Решение:
Пусть точка $K$ лежит между $A$ и $L$. Тогда $\angle ABK=\angle KBL=\angle LBC=30^{\circ}$. Если $BM$ - высота (и биссектриса) треугольника $ABC$, то $BM=\sqrt{2}$, а $\angle KBM=15^{\circ}$. Следовательно,
$BK=\frac{BM}{\cos\angle KBM}=\frac{\sqrt{2}}{\cos15^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}+1}=2(\sqrt{3}-1).$