2021-11-26
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
Решение:
Пусть $M$ - точка касания вписанной окружности с гипотенузой $AB$ данного прямоугольного треугольника $ABC$, $BC=4$, $AC=3$. $O$ - середина гипотенузы (центр описанной окружности), $Q$ - центр вписанной окружности, $r$ - её радиус, $p$ - полупериметр треугольника. Тогда
$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,~r=\frac{3+4-5}{2}=1,~AM=p-BC=6-4=2$
(см. задачи 4012 и 4014),
$OM=AO-AM=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}.$
Из прямоугольного треугольника $OMQ$ находим, что
$OQ=\sqrt{OM^{2}+QM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$