2021-11-26
В равнобедренной трапеции средняя линия равна $m$, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Через вершину $C$ меньшего основания $BC$ данной равнобедренной трапеции $ABCD$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. Тогда $ACE$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его площадь равна площади данной трапеции, основание $AE$ - сумме оснований трапеции, т.е. удвоенной средней линии, а т.к. $\angle CAD=45^{\circ}$, то высота $CH$ равна отрезку $AH$, который по свойству равнобедренной трапеции равен её средней линии. Следовательно,
$S_{ABCD}=S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}AE\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot2m\cdot m=m^{2}.$