Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 7000
2021-11-26 
Высота трапеции $ABCD$ равна 5, а основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 3 и 5. Точка $E$ находится на стороне $BC$, причём $BE=2$, $F$ - середина стороны $CD$, а $M$ - точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$. Найдите площадь четырёхугольника $AMFD$.
Решение:
Пусть прямая $BF$ пересекает продолжение основания $AD$ в точке $N$. Из равенства треугольников $BCF$ и $NDF$ следует, что $DN=BC=3$. Треугольники $AMN$ и $EMB$ подобны с коэффициентом
$\frac{AN}{BE}=\frac{8}{2}=4,$
поэтому высота $MP$ треугольника $AMN$ в 4 раза больше высоты $MQ$ треугольника $BME$, а т.к. $MQ+MP=PQ=5$, то $MP=\frac{4}{5}PQ=4$. Поскольку $FN=BF$, то высота $FG$ треугольника $FDN$ вдвое меньше высоты $BH$ треугольника $ABN$, поэтому
$FG=\frac{1}{2}BH=\frac{5}{2}.$
Следовательно,
$S_{AMFD}=S_{\Delta AMN}-S_{\Delta FDN}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot MP-\frac{1}{2}\cdot DN\cdot FG=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4-\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{5}{2}=\frac{49}{4}.$
Высота трапеции $ABCD$ равна 5, а основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 3 и 5. Точка $E$ находится на стороне $BC$, причём $BE=2$, $F$ - середина стороны $CD$, а $M$ - точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$. Найдите площадь четырёхугольника $AMFD$.
Решение:
Пусть прямая $BF$ пересекает продолжение основания $AD$ в точке $N$. Из равенства треугольников $BCF$ и $NDF$ следует, что $DN=BC=3$. Треугольники $AMN$ и $EMB$ подобны с коэффициентом
$\frac{AN}{BE}=\frac{8}{2}=4,$
поэтому высота $MP$ треугольника $AMN$ в 4 раза больше высоты $MQ$ треугольника $BME$, а т.к. $MQ+MP=PQ=5$, то $MP=\frac{4}{5}PQ=4$. Поскольку $FN=BF$, то высота $FG$ треугольника $FDN$ вдвое меньше высоты $BH$ треугольника $ABN$, поэтому
$FG=\frac{1}{2}BH=\frac{5}{2}.$
Следовательно,
$S_{AMFD}=S_{\Delta AMN}-S_{\Delta FDN}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot MP-\frac{1}{2}\cdot DN\cdot FG=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4-\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{5}{2}=\frac{49}{4}.$
