Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 700
2014-02-26 
Пусть #a_{1}, \cdots, a_{n}# — положительные числа и выполнено неравенство #a_{1} + \cdots + a_{n} < 1.# Доказать, что #\frac{(a_{1} + \cdots + a_{n})(1 - a_{1})(1 - a_{2]) \cdots (1 - a_{n})}{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}(1 - a_{1} - \cdots - a_{n})} \geq n^{n+1}.#
Решение:
Положим #a_{n+1} = 1 - a_{1} - \cdots - a_{n}.# Тогда #a_{n+1} > 0,# и неравенство, которое надо доказать, примет следующий вид: #\frac{(1-a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})(1 - a_{n+1})}{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}(a_{n+1})} \geq n^{n+1}# Применяя неравенство для средних, получим для каждого #i = 1,2, \cdots, n+1 : 1 - a_{i} = a_{1} + \cdots + a_{i-1} + a_{i+1} + \cdots + a_{n+1} \geq# #\geq n \sqrt[n]{a_{1} \cdots a_{i-1}a_{i+1} \cdots a_{n+1}}.# Перемножив эти неравенства, получим, что #(1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n+1}) \geq n^{n+1}a_{1}a_{2} \cdots a_{n+1}.#
Пусть #a_{1}, \cdots, a_{n}# — положительные числа и выполнено неравенство #a_{1} + \cdots + a_{n} < 1.# Доказать, что #\frac{(a_{1} + \cdots + a_{n})(1 - a_{1})(1 - a_{2]) \cdots (1 - a_{n})}{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}(1 - a_{1} - \cdots - a_{n})} \geq n^{n+1}.#
Решение:
Положим #a_{n+1} = 1 - a_{1} - \cdots - a_{n}.# Тогда #a_{n+1} > 0,# и неравенство, которое надо доказать, примет следующий вид: #\frac{(1-a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})(1 - a_{n+1})}{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}(a_{n+1})} \geq n^{n+1}# Применяя неравенство для средних, получим для каждого #i = 1,2, \cdots, n+1 : 1 - a_{i} = a_{1} + \cdots + a_{i-1} + a_{i+1} + \cdots + a_{n+1} \geq# #\geq n \sqrt[n]{a_{1} \cdots a_{i-1}a_{i+1} \cdots a_{n+1}}.# Перемножив эти неравенства, получим, что #(1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n+1}) \geq n^{n+1}a_{1}a_{2} \cdots a_{n+1}.#
