2021-11-26
Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, которая пересекает сторону $AB$ в точке $K$ и сторону $AC$ в точке $L$. Найдите $AB$, если $AK=KB$, $AL=l$, $\angle BCK=\alpha$, $\angle CBL=\beta$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности. Обозначим $AK=KB=x$. Тогда
$R=\frac{BK}{2\sin\angle BCK}=\frac{CL}{2\sin\angle CBL},$
или $\frac{x}{2\sin\alpha}=\frac{CL}{2\sin\beta}$, откуда находим, что $CL=\frac{x\sin\beta}{\sin\alpha}$.
По следствию из теоремы о касательной и секущей $AK\cdot AB=AL\cdot AC$, или $2x^{2}=l\left(l+\frac{x\sin\beta}{\sin\alpha}\right)$, или
$2x^{2}-\frac{xl\sin\beta}{\sin\alpha}-l^{2}=0.$
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого квадратного уравнения:
$x=\frac{1}{4}\left(\frac{l\sin\beta}{\sin\alpha}+\sqrt{\frac{l^{2}\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}+8l^{2}}\right)=\frac{l}{4\sin\alpha}\left(\sin\beta+\sqrt{8\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\right).$
Следовательно, $AB=2x=\frac{l}{2\sin\alpha}\left(\sin\beta+\sqrt{8\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\right)$.