2021-11-26
Из точки $C$ проведены две касательные к окружности. Точки $A$ и $B$ - точки касания. На окружности взята произвольная точка $M$, отличная от $A$ и $B$. Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MN$, $ME$, $MD$ на стороны $AB$, $BC$, $CA$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MNE$, если известны стороны $MN=4$, $MD=2$ и угол $\angle ACB=120^{\circ}$.
Решение:
Докажем сначала, что треугольники $MND$ и $MEN$ подобны. Действительно, из точек $E$ и $N$ отрезок $BM$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $BM$. Аналогично докажем, что точки $D$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AM$. Поэтому
$\angle MEN=\angle MBN=\angle DAM=\angle DNM.$
(Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.)
Аналогично $\angle MNE=\angle MDN$. Следовательно, треугольники $MND$ и $MEN$ подобны по двум углам. Из пропорции $\frac{MN}{MD}=\frac{ME}{MN}$ находим, что
$ME=\frac{MN^{2}}{MD}=\frac{16}{2}=8.$
Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то
$\angle CBA=\angle CAB=30^{\circ}.$
Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$ (по условию задачи её проекции лежат на сторонах треугольника), поэтому
$\angle EMN=180^{\circ}-\angle CBA=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.$
Следовательно,
$S_{\Delta MNE}=\frac{1}{2}ME\cdot MN\cdot\sin\angle EMN=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sin150^{\circ}=8.$