Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 699
2014-02-26 
Пусть дано уравнение #y^{\prime} = xy + f(x),# где #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# — непрерывная ограниченная функция. Найти необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять функция #f(x)# для того, чтобы уравнение имело решение #y(x) \rightarrow 0# при #x \rightarrow \infty#
Решение:
Имеем #y(x) = e^{x^{2}/2} \left ( \int_{x_{0}}^{x} e^{-t^{2}/2}f(t)dt + C \right ).# Если #y(x) \rightarrow 0# при #x \rightarrow \infty,# то #\int_{x_{0}}^{+ \infty} e^{-t^{2}/2} f(t)dt = - C = - \int_{- \infty}^{x_{0}} e^{-t^{2}/2} f(t)dt,# откуда получаем необходимое условие #\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^{2}/2} f(t)dt = 0,# Докажем, что при выполнении этого условия решение #y(x)=# #y(x)=# стремится к нулю при #x \rightarrow \infty.# При #x \rightarrow - \infty# имеем по правилу Лопиталя При #x \rightarrow + \infty# используем представление #y(x) = - e^{-x^{2}/2} \int_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}/2} f(x) dt# и действуем аналогично.
Пусть дано уравнение #y^{\prime} = xy + f(x),# где #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# — непрерывная ограниченная функция. Найти необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять функция #f(x)# для того, чтобы уравнение имело решение #y(x) \rightarrow 0# при #x \rightarrow \infty#
Решение:
Имеем #y(x) = e^{x^{2}/2} \left ( \int_{x_{0}}^{x} e^{-t^{2}/2}f(t)dt + C \right ).# Если #y(x) \rightarrow 0# при #x \rightarrow \infty,# то #\int_{x_{0}}^{+ \infty} e^{-t^{2}/2} f(t)dt = - C = - \int_{- \infty}^{x_{0}} e^{-t^{2}/2} f(t)dt,# откуда получаем необходимое условие #\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^{2}/2} f(t)dt = 0,# Докажем, что при выполнении этого условия решение #y(x)=# #y(x)=# стремится к нулю при #x \rightarrow \infty.# При #x \rightarrow - \infty# имеем по правилу Лопиталя При #x \rightarrow + \infty# используем представление #y(x) = - e^{-x^{2}/2} \int_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}/2} f(x) dt# и действуем аналогично.
